Лекции / VTA_lektsia_7

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

(x( k 1 ) x( k ))

( y( k 1 ) y( k ))

(z( k 1 ) z( k ))

(x( k 1 ) x( k ))

( y( k 1 ) y( k ))

(z( k 1 ) z( k ))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

443.26 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 37. Криволинейные интегралы. П.1 Кривые в пространстве. Длина кривой.

ОПР. Кривая L в пространстве в векторной форме задается (параметрическим) r r(t), t a;b

уравнением

x x(t),
		x(t) , y(t) и z(t) .
или в скалярном виде y y(t), с заданными функциями
	z z(t)

Точки A r (a) и B r (b) называются началом и концом дуги кривой. Если A B , то кривая называется замкнутой.

Кривая не имеет самопересечений, если отображение r r(t), t a;b биективное. Кривая называется гладкой (кусочногладкой), если функции x(t) , y(t) , z(t) непрерывно дифференцируемые на отрезке a;b или кусочно-гладкой , если соответствующие функции имеют кусочно-непрерывные производные на отрезке a;b .

Пусть a 0 , 1,..., k , k 1,... n b - разбиение отрезка a;b и соответствующее ему разбиение кривой L точками M k r( k ) . Через L обозначим ломаную линию, составленную из отрезков M k ;M k 1 , k 1,2,...,n , а l - длину ломаной L , т.е.

n = (M k , M k 1 ) k 0

ОПР. Кривая

называется спрямляемой, если

supl

ОПР. Длиной дуги

кривой

называют число

lim l
d	0

, если оно существуют.

Если кривая имеет длину, то она спрямляема и наоборот. Действительно, если

последующее разбиение

, то l l ,т.е. длина ломаной монотонно растет при

измельчении разбиения и спремляемости (ограниченности) достаточно для существования предела. Обратно, существование предела обеспечивает ограниченность l , а значит и

спремляемость кривой. ТЕОРЕМА 1.

Если кривая L кусочно-гладкая, то она имеет длину, вычисляемую по формуле:

b	x (t)	y (t)	z (t)	dt
l	x (t)	y (t)	z (t)	dt
	2	2	2
a

(1)

ДОК. Докажем формулу (1) для гладкой кривой L . По теореме о среднем для производных

для каждого k

k , k 1

, для которых

существуют точки сk

,ck

(x (c ))

( y (c

))

(z (c

))

(x ( ))

( y ( ))

(z (

))

o(1)

k 0

(x ( k ))

( y ( k ))

(z ( k ))

o(1)

k 0

Первое слагаемое справа – интегральная сумма для интеграла (1) и ее предел при d( ) 0

с одной стороны равен интегралу b
с одной стороны равен интегралу b		x (t) 2 y (t) 2 z (t) 2 dt , а с другой – длине дуги
	a
AB .
	x x(t)
Замечание. Для кривой			на плоскости справедлива формула(1*):
y y(t), t a;b

b
l		2		2	dt
l	x (t)		y (t)		dt
a

(1*)

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что если кривая L на плоскости задается графиком непрерывно дифференцируемой функции y f (x) на отрезке a;b , то длина кривой вычисляется по формуле:

(2)

1 f (x)

x t,

, t a;b

ДОК. Уравнение кривой можно записать в параметрической форме y f (t),

z 0

Тогда

1 f

и формула (1) переходит в (2).

x (t)

y (t)

z (t)

(t)

П.2 Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть на плоскости или в пространстве задана гладкая кривая L , а в точках кривой и их окрестностях - непрерывная функция F(x, y, z) .

Кривую L

можно параметризовать длиной s s(M )

дуги AM

кривой, где M

произвольная точка дуги AB :

x x(M (s))

y y(M (s))

z z(M (s))

Разбиение отрезка

a;b

порождает разбиение дуги AB точками Mk , k 0,1, 2,..., n на дуги

M k M k 1

длины sk

s(Mk 1 ) s(Mk ) . На каждой дуге M k M k 1

выберем произвольную

точку

(x(c ), y(c ), z(c )), c

;

k 1 .

Рассмотрим сумму SF (L, ) F (r(ck )) sk .

k 0

ОПР. Криволинейным интегралом первого рода функции F(x, y, z)

называют число

	F (x(s), y(s), z(s))ds lim SF			(L, ) ,	(3)
		d	0
L
L

если предел существует. При этом выражение SF (L, ) называется суммой.

по длине кривой L

его интегральной

ТЕОРЕМА 2. (необходимое условие существования криволинейного интеграла)

Если функция F(x, y, z) имеет криволинейный интеграл первого рода, то она ограничена

на множестве точек кривой.

ДОК. аналогично доказательству необходимого условия интегрируемости функции на отрезке или интегрируемости функции двух переменных в области.

ТЕОРЕМА 3. Если функция F(x, y, z) непрерывна в окрестности U (L) кусочно-гладкой

кривой L , то она имеет криволинейный интеграл первого рода по этой кривой. ДОК. (без доказательства)

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие непрерывности функции F(x, y, z) можно понизить до ее кусочно-

непрерывности
СВОЙСТВА криволинейного интеграла.
1. линейность		1F1 2 F2 ds 1		F1ds 2		F2ds .
1. линейность		1F1 2 F2 ds 1		F1ds 2		F2ds .
	L		L		L

2. аддитивность по кривой.

Если кривая L состоит из двух, не имеющих общих точек, кроме граничных, кусков

L2 , т.е. L L1

, то

Fds

Fds .

L L

3. интегрирование неравенств

Если F (x, y, z)

F (x, y, z)

в точках кривой L , то

F ds

F ds .

4. оценка интеграла

Если m min F (P) и M P L

max

P L

F (P) , то

m l Fds M

5. теорема о среднем для криволинейного интеграла. Если кривая гладкая, а функция F(x, y, z) непрерывная

существует точка С L , для которой		Fds F (C) l .
существует точка С L , для которой		Fds F (C) l .
	L

в окрестности кривой, то

6. Независимость интеграла от направления обхода кривой:

Fds	Fds
AB	BA

Вычисление интеграла первого рода ТЕОРЕМА 4. Формула для вычисления криволинейного

Если функция F(x, y, z) непрерывна в окрестностиU (L)

интеграла первого рода. кусочно-гладкой кривой

, заданной параметрическими уравнениями

	b
Fds F (x(t), y(t), z(t))			2
Fds F (x(t), y(t), z(t))		x (t)
L	a

x x(t),

y y(t),

z z(t)

y (t) 2

t a;b , то

2	dt
z (t)

(4)

Рассмотрим случай, когда кривая гладкая (без разбиения отрезка на конечное число гладких кривых). Тогда представим интегральную сумму криволинейного интеграла в виде:

n	n	k 1
			x (t)2 y (t)2 z (t)2 dt
SF (L, ) F (M k ) sk F (M k )
k 0	k 0	k

Применим к внутреннему интегралу теорему о среднем:

k 1
	x (t)2 y (t)2 z (t)2 dt	x (ck )2 y (ck )2 z (ck )2 k , ck k ; k 1
k

Тогда с учетом непрерывности производных и того, что

M k x(ck ), y(ck ), z(ck ) , ck

k ; k 1

, получим

(L, )

F (M

) x (c

)

y (c

)

z (c

)

F (M

)

x (c )

y (c

)

z (c

)

o(1)

k 0

Первое слагаемое правой части равенства представляет собой интегральную сумму для

интеграла Римана в формуле (4) и по условию теоремы она стремится к интегралу при

d( ) 0 . С другой стороны, в левой части равенства находится интегральная сумма

криволинейного интеграла, поэтому ее предел равен этому интегралу.

Если кривая L

кусочно-гладкая, то она представляет объединение конечного числа

гладких кусков, для каждого из которых справедлива формула (4) и общий результат следует из свойства аддитивности по кривой криволинейного интеграла.

Пример 1. Вычислить

	x	2
		2
L

y	2	ds

, где

задается уравнением x2 y2 ax .

РЕШЕНИЕ. Запишем параметрические уравнения окружности координаты,

, используя полярные

									x a cos				2	,
													2
		r a cos															,		;
		r a cos							y a cos sin								,	2	;	2
																		2		2


												/ 2
	2		2		2			2		2					2				2
Тогда x		y		a	2	и	x	2	y	2	ds ,	a			2	cos d 2a			2	.
Тогда x		y		a		и	x		y		ds ,	a				cos d 2a				.
						L						/ 2

П.3 Криволинейный интеграл второго рода.
	x x(t)
1. Рассмотрим не замкнутую гладкую кривую L на плоскости	y y(t), t a;b		, и


непрерывную функцию P(x, y) , определенную в окрестности кривой.		Разбиение
отрезка a;b точками 0 a, 1,..., n b порождает разбиение кривой точками
M k x( k ), y( k ) на дуги M k M k 1 . Для произвольного набора точек M k		M k M k 1

рассмотрим сумму (интегральная сумма для криволинейного интеграла второго рода)

(P, L, )

P(M

)(x(

k 1

) - x(

))

P(M

) x

i 0

Ее предел при d( ) 0

, если он существует, называется криволинейным интегралом

второго рода от функции P(x, y) на кривой L по оси x . Обозначение

P(x, y)dx lim

Sx (P, L, )

d ( ) 0

Аналогично, выражение Sy (Q, L, ) Q(M k )(y( k 1 ) y( k )) Q(M k ) yk называют

i 0

интегральной суммой криволинейного интеграла второго рода от функции Q(x, y) на

кривой L по оси y . Ее предел при d( ) 0 , если он существует, обозначают		Q(x, y)dy
		Q(x, y)dy
	L

Наконец, сумму таких интегралов P(x, y)dx Q(x, y)dy также называют криволинейным

интегралом второго рода по кривой L AB .

Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

	x x(t)
Если кривая L :	y y(t), t a;b	гладкая, а функция P
	y y(t), t a;b

кривой, то

(

x, y)

непрерывная в окрестности

	b
P(x, y)dx P(x(t), y(t))x (t)dt
L	a

(5)

Док.

k 1

P(x(t), y(t))x (t)dt

P(x(t), y(t))x (t)dt P(x(tk ),y(tk )) x (tk ) k

k 0

o(1)) k

P(x(tk ),y(tk )) (x (tk ) o(1)) k P(x(tk ),y(tk )) (

k 0

(P, L, ) o(1)

Здесь tk k , k 1

точка, для которой x( k 1 ) x( k ) xk

x (tk ) k .

Тогда предельный переход при d( ) 0

приводит к результату (5).

Аналогичная формула справедлива для вычисления криволинейного интеграла по оси oy :

	b
Q(x, y)dx Q(x(t), y(t)) y (t)dt
L	a

(6)

Наконец, для вычисления общего криволинейного интеграла пользуются формулой:

b

P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t)) y (t) dt

(7)


Если гладкая кривая L
Если гладкая кривая L	расположена в пространстве
				z
				z

задано непрерывное поле		F	P(x, y, z);Q(x, y, z); R(x, y,
задано непрерывное поле

x x(t)
y y(t)	и в окрестности ее
z(t), t a;b
z)
, то вычисление

криволинейного интеграла

Pdx Qdy Rdz

F, dr L

сводится к применению формулы:

		b
Pdx Qdy Rdz F, dr (P(r (t)x (t) Q(r (t) y (t) P(r (t)z (t))dt
L	L	a

(8)

Если кривая L кусочно-гладкая, то она представляет собой объединение конечного числа гладких кусков, для которых справедлива формула (8) и возможность ее применения следует из свойства аддитивности интеграла по множеству.

ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение теоремы остается справедливым для кусочно-непрерывных векторных полей F(x, y, z) в окрестности кривой L .

Зависимость интеграла от направления обхода дуги AB .

Pdx Pdx

AB BA

Пример 2. Вычислить интеграл (x y2 )dx 2xydy , где L дуги кривых представленных на

рис.

					1
Случай а.		(x y	2	)dx 2xydy		x x	2		2x	2
			2				2			2

	L				0
					1		1
Случай б.		(x y	2	)dx 2xydy		xdx		2 ydy
			2

	L				0		0
					1
Случай в.		(x y	2	)dx 2xydy		(x 1)dx
			2

	L				0

2. Рассмотрим замкнутую гладкую кривую L

dx		1	1	5
dx		2	3	6
		2	3	6
	3
	2
	2

1 2

на плоскости

x x(t)	,	x(a) x(b),	y(a) y(b)
y y(t), t a;b

Поскольку криволинейный интеграл зависит от направления обхода кривой, то полагают, что плоскость ориентирована положительно, если направление обхода замкнутой кривой происходит против часовой стрелки.

В противном случае, ориентация плоскости отрицательная, а направление обхода кривой происходит по часовой стрелке. Если не говорено противное, мы всегда будем полагать, что ориентация плоскости положительная.

Интеграл не зависит от выбора начальной (и конечной) точки A на замкнутой кривой. Действительно, если точке A соответствует значение параметра t a , а точке B - значение

t c , то интеграл по контуру с началом в точке A равен
	b c	b
Pdx		P(x( ), y( ))x ( )d t c P(x(t c), y(t c))x (t c)d (t c) Pdx
LB	a c	a		LA
			x2	y 2 z 2 a2 ,	.
Пример 3. Вычислить ( y z)dx (z x)dy (x y)dz , где L :				y xtg	.
		L		y xtg
		L

РЕШЕНИЕ. Напишем параметрические уравнения окружности L , используя сферические координаты:

x acos cos , y acos sin ,			z asin			y	tg tg .
x acos cos , y acos sin ,			z asin			x	tg tg .
						x
x a cos cos ,
		, 0;2 и			( y z)dx (z x)dy (x y)dz
Тогда L : y a sin cos ,
Тогда L : y a sin cos ,
	z a sin			L
	z a sin

= a

	2	(sin cos sin ) cos sin (sin cos cos )sin sin (cos sin ) cos		d
2			2

		2
= a	2		cos sin d 2 a	2	(cos sin ) .
	2			2

		0

УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ криволинейного интеграла от пути.

ОПР. Поле F(x, y, z) P(x, y, z);Q(x, y, z); R(x, y, z) определенное в области G

называется

потенциальным, если существует скалярная функцияU (x, y, z) , для которой

dU P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz в каждой точке (x, y, z) G . Функция U (x, y, z)

называется потенциалом поля F(x, y, z) .

Поле F(x, y, z) потенциально в том и только в том случае, если справедливы тождества

	Q		R
	z		y

(9)

Необходимость следует из равенства смешанных производных:

U	U	U		U
2	2
						P
x y	y x	y x			y		x
x y	y x	y x	x	y	y		x

устанавливаются аналогично.

Если (9) выполняются в открытой односвязной

Q . Остальные соотношения

области, то функция

U P(t, y0 , z0 )dt Q(x,t,

является потенциалом F(x, y, z)

. Здесь

С – произвольная константа.

Действительно,

P(x, y0 , z0 )

= P(x, y0 , z0 )

(x,t, z0 )dt

(x, y,

				z
z0 )dt R(x,
				z
				0
x	, y	, z		0	G
0	0			0
					z
(x,t, z0 )dt
					z
					0
t)dt			=

y,t)dt C

фиксированная точка,

	R	(x, y,t)dt
	x	(x, y,t)dt
	x

P(x, y0 , z0 )

	U	Q(x, y,
	y	Q(x, y,
	y

= Q(x, y, z0 )

P(x, y, z0 ) P(x, y0 , z0 ) P(x, y, z) P(x,

		z	R
z0 )			R	(x, y, z0 )dt
z0 )			y	(x, y, z0 )dt
		z	y
		0
z	Q
	Q	(x, y, z0 )dt Q(x, y, z0 ) Q(x, y, z)
	z	(x, y, z0 )dt Q(x, y, z0 ) Q(x, y, z)
z	z
0

y, z0 ) =

Q(x, y,

P(x,

z	0	)
	0

, y, z)

U R(x, y, z) .

Если поле потенциально, то криволинейный интеграл Pdx Qdy Rdz зависит только от

начальной и конечной точек кривой L , а именно, Pdx Qdy Rdz =U (B) U (A) ,

где A r(a) , B r(b) . Действительно,

Pdx Qdy Rdz

= b (	U x (t)	U y (t)	U z (t))dt = b		dU	dt U (B) U ( A) .

a	x	y	z	a	dt

СЛЕДСТВИЕ. Если поле

F(x, y, z)

потенциально в области

, то

Pdx Qdy

Rdz

для любого замкнутой кривой L

G .

Пример 4.

Вычислить интеграл

xdx ydy zdz

, где

L - кривая, соединяющая точку А на

сфере x

и точку B

на сфере x

РЕШЕНИЕ. Потенциал поля равенU

и поэтому

xdx ydy zdz

=U (B) U (A) b a .

Вычисление площади области с помощью криволинейного интеграла по ее границе

Для начала найдем выражение площади стандартной области G f ,g

по оси ox :

a,b

На границе G			стандартной области введем положительное направление обхода. Тогда
	b		a
SG		f (x)dx		g(x)dx . Для функции P(x, y) y	интеграл

a b

f (x)dx P(x, y)dx
CB	CB

ydx

, а интеграл

a
g(x)dx P(x, y)dx			ydx
b	AD	AD

Поскольку				P(x, y)dx				P(x, y)dx
Поскольку				P(x, y)dx				P(x, y)dx
			BA				DC
SG		P(x, y)dx				ydx
SG		P(x, y)dx				ydx
	G				G

имеем по аддитивности интеграла, что

Для стандартной области по оси

эта формула примет вид SG xdy . Если область G

такова, что ее можно рассматривать как стандартную по обеим осям, то эти формулы объединяются

	2
	SG	1		xdy ydx	(10)
	SG		G	xdy ydx	(10)
			G
Наконец, область G	более общего вида всегда можно представить в виде объединения

областей Gi , пересекающихся только по границе, являющихся стандартными по обеим осям (см рис)

Тогда по аддитивности площади приходим к справедливости формулы (10) для таких областей (все внутренние границы положительно ориентированных областей Gi

проходятся дважды и в противоположных направлениях, поэтому их вклад в криволинейный интеграл нулевой)

	x a cos3 t

Пример 5. Найти площадь области, ограниченной кривой астроиды		3	t, t 0; 2
y a sin		3
y a sin

Решение.

					cos										t 3a								3a	2				3a	2
xdy ydx 3a				2		4	t sin			2	t cos	2	t sin	4			2	sin	2	t cos	2	t	3a		sin	2	t	3a	(1 cos 2t)
				2		4				2		2		4			2		2		2					2
																							4					8
																							4					8
	1						3a	2	2							2
SG	1	xdy	ydx				3a				(1 cos 2t)dt					3a
SG	2	xdy	ydx				16				(1 cos 2t)dt					8
	2	G					16		0							8
		G							0

Связь между криволинейными интегралами первого и второго типа

На рис изображен фрагмент разбиения кривой точками Mk , соответствующих разбиениюотрезка a;b . Тогда интегральная сумма криволинейного интеграла Pdx второго рода

может быть представлена в виде:

P(M

) x

P(M

) M

k 1

cos

сек

P(M

) s

o(1)

(cos

кас

o(1))

k 1

k 0

P(M k ) sk

cos кас o(1)

где sk длина дуги M k M k 1 , кас угол, образованной касательной к кривой в точке Mk с осью ox . В правой части равенства присутствует интегральная сумма для интеграла

первого рода		P cos ds . В условиях непрерывности функции P , непрерывности угла
первого рода
	L

(M )

между осью

и касательной к кривой в точке M интеграл

P cos ds L

существует. Предельный переход при d 0 приводит к соотношению:

Аналогичное равенство есть и для криволинейных интегралов по

Q cos ds и Rdz R cos ds . Здесь , углы, образованные
L	L	L

касательной к кривой в произвольной точке M с осями oy		и oz .
Складывая полученные выражения, получим формулу:
Pdx Qdy Rdz (P cos Q cos R cos )ds
L	L

(11)

Приложения криволинейных интегралов. 1. Работа силового поля вдоль пути.

Пусть материальная точка движется по кривой L под действием силового поля

F (M ) P(M );Q(M ); R(M ) . Работа по перемещению точки на величину r x; y; z

равна скалярному произведению F , r , поэтому суммируя их получим интегральную

сумму для интеграла в левой части равенства (11). Предельный переход при d( ) 0 приведет к формуле для работы: A Pdx Qdy Rdz (P cos Q cos R cos )ds

L В плоскостном случае F (x, y)

LP(x, y);Q(x, y)

A Pdx Qdy

и формула для работы имеет вид:

(11)*

Поле называется потенциальным, если существует функцияU (x, y) такая, что

P(x, y)

U (x, y)

Q(x; y)

U (x, y)

В случае потенциального поля его работа по перемещению точки A в точку B вдоль пути

L не зависит от пути, а зависит от его начала и конца. Действительно, для любого

x x(t),

L :

y y(t), t a;b

, A(x(a); y(a)), B(x(b); y(b))

A Pdx Qdy

t b

y dt

U (x(t), y(t)) t a U (B) U ( A)

Если поле F (x, y)

P(x, y);Q(x, y) потенциально, то

(12)

поскольку

x y

Если частные производные

, Q непрерывны в односвязной области D и выполнено

(12), то поле потенциально.

Пример 5. Поле ньютоновского притяжения F

единичной массы, расположенной на

расстоянии r

от массы m , находящейся в начале координат. Направление силы

определяется единичным вектором

;

, тогда

P;Q

(x, y)

;

)

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf
#
17.05.2024450.44 Кб0VTA_lektsia_5.pdf
#
17.05.2024443.26 Кб0VTA_lektsia_7.pdf
#
17.05.2024326.27 Кб0VTA_lektsia_8.pdf
#
17.05.2024505.71 Кб0VTA_lektsia_9.pdf